Anna yhden laatan täyttää taso
Ääretön lattia, joka on rakennettu yhdestä äärellisestä muodosta, ilman aukkoja, päällekkäisyyksiä ja joissakin merkittävissä tapauksissa ilman lainkaan toistoa. Se kuulostaa arvoitukselta. Sen ratkaiseva sääntö mahtuu yhteen riviin: jokaisessa kulmapisteessä kulmien on yhteensä oltava 360°.
Miksi vain kolme säännöllistä laattaa toimii
Seiso missä tahansa kohdassa, jossa laatat kohtaavat. Kulmien, jotka kokoontuvat tuon pisteen ympärille, on muodostettava täysi kierros, ei enempää eikä vähempää. Säännöllisellä monikulmiolla jokainen kulma on sama, joten kysymys muuttuu yksinkertaiseksi laskutoimitukseksi: jakautuuko 360 tasan sisäkulmalla?
Tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60°, joten kuusi kohtaa. Neliön kulmat ovat 90°, joten neljä kohtaa. Säännöllisen kuusikulmion kulmat ovat 120°, joten kolme kohtaa. Säännöllinen viisikulmio, 108°, jättää kolmella laatalla sitkeän 36° aukon ja neljällä menee päällekkäin. Seitsemänkulmiot ja sitä suuremmat ovat yli 120°:n kulmia, joten jopa kolme niistä ylittää kierroksen. Tästä seuraa, että säännöllisiä tessellaatioita on täsmälleen kolme, minkä vuoksi lattialaatat ja hunajakennot näyttävät niin tutuilta.
Jos sallitaan kaksi tai useampi säännöllinen monikulmio ja vaaditaan, että jokainen kärkipiste näyttää samalta, saadaan kahdeksan lisää: puolisäännölliset eli arkhimedeelisen laatoitukset. Johannes Kepler esitteli ne teoksessaan Harmonices Mundi vuonna 1619, yhdistäen kahdeksankulmioita neliöihin, kuusikulmioita kolmioihin ja kaksitoistakulmioita molempiin.
- Laske yhteen kärkipisteessä kohtaavat kulmat.
- Summan on oltava täsmälleen 360°.
- Tarkista, että reunat ovat linjassa, eivät vain kulmat.
Katkaistu neliölaatoitus: jokaisessa kärkipisteessä on kaksi kahdeksankulmiota ja yksi neliö. 135° + 135° + 90° = 360°.
Viisikulmiot: muoto, joka yllätti asiantuntijat
Säännöllinen viisikulmio ei täytä ehtoa, mutta kun sen sivuja ja kulmia taivutetaan, tarina muuttuu. Jotkin epäsäännölliset kuperat viisikulmiot laatoittuvat täydellisesti, ja niiden kaikkien löytäminen muuttui yli sadan vuoden etsinnäksi.
Saksalainen matemaatikko Karl Reinhardt kuvasi viisi perhettä vuonna 1918. Vuosikymmeniä myöhemmin, luettuaan Martin Gardnerin kolumnin lehdessä Scientific American, Marjorie Rice, San Diegolainen kotiäiti ilman virallista matemaattista koulutusta, keksi oman merkintätapansa ja löysi 1970-luvulla neljä uutta tyyppiä. Vuonna 2015 Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann ja David Von Derau Washingtonin yliopistosta Bothellista löysivät tietokonehaulla viidennentoista tyypin. Vuonna 2017 Michaël Rao julkaisi tietokoneavusteisen todistuksen siitä, että viidentoista tyypin lista on täydellinen.
Tekijöille opetus on tämä: 360 asteen sääntö on yhä voimassa, mutta epäsäännölliset muodot voivat kohdata sekaryhmissä, tässä kaksi kulmaa ja siellä kolme, kunhan jokainen kärkipiste sulkeutuu.
Epäsäännöllinen kupera viisikulmio laatoituksessa. Osa kärkipisteistä kokoaa kolme laattaa, osa neljä, mutta jokainen kärkipiste sulkeutuu 360°:een.
Escherin olennoista laattoihin, jotka eivät koskaan toistu
M.C. Escher tutki Granadan Alhambran laatoitusta vierailuillaan vuosina 1922 ja 1936 ja kääntyi sitten vuosikymmeniksi muuttamaan monikulmioita linnuiksi, kaloiksi ja liskoiksi. Hänen perusideansa on helppo oppia: mitä leikkaat pois yhdestä reunasta, lisäät vastakkaiseen reunaan, joten laatta sopii yhä naapureihinsa. Emme esitä hänen töitään tässä, sillä ne ovat yhä tekijänoikeuden suojaamia.
Syvempi yllätys tuli laatoista, jotka peittävät tason mutta eivät koskaan toistu. Vuonna 1974 Roger Penrose löysi kaksi muotoa, leijan ja tikarin, jotka laatoittavat vain ei-jaksollisesti. Vuonna 1982 Dan Shechtman havaitsi todellisessa metalliseoksessa samankaltaisen ”kielletyn” järjestyksen, ja tämä löytö toi hänelle vuoden 2011 kemian Nobel-palkinnon.
Vuosikymmeniin yksittäinen laatta, jolla on tämä ominaisuus, tuntui saavuttamattomalta. Sitten vuonna 2023 David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan ja Chaim Goodman-Strauss esittelivät ”hatun”, kolmetoista sivua omaavan muodon, joka laatoittaa tason vain jaksottomasti, ja sen jälkeen ”spektrin”, joka tekee sen ilman peilikuvia.
Hattulaattoja toistumattomassa laikussa. Meripihkanväriset laatat ovat peilikuvakopioita, joita hattu tarvitsee mutta spektri ei.
Rakennusohjeet
Tee Escher-tyylinen siirtolaatta
- Aloita paperineliöllä.
- Leikkaa mikä tahansa käyrä vasemmasta reunasta ja teippaa se oikeaan reunaan kiertämättä sitä.
- Tee sama alareunasta yläreunaan.
- Piirrä uusi muoto toistuvasti rivittäin liu’uttaen. Päätä sitten, mitä olentoa se muistuttaa.
Lyhyesti: miksi hattulaatoitus ei voi olla jaksollinen
Hattulaatat joutuvat ryhmittymään suuremmiksi klustereiksi, jotka käyttäytyvät kuin isommat laatat ja ryhmittyvät taas, loputtomiin. Jaksollinen kuvio tarvitsisi yhden äärellisen lohkon, joka toistuu; tämä loputon hierarkia sulkee sen pois.
Nopea tarkistus mille tahansa monikulmiolle
Mikä tahansa kolmio ja mikä tahansa nelikulmio, vaikka epäsäännöllinen ja ei-kupera, voi laatoittaa tason. Kun kopioita käännetään 180° sivujen keskipisteiden ympäri, niiden kulmat sulkeutuvat aina täyteen kierrokseen.