Jeden kafel wypełnia płaszczyznę
Nieskończona podłoga zbudowana z jednego skończonego kształtu, bez szczelin, bez nakładania się i w kilku niezwykłych przypadkach bez powtórzeń. Brzmi jak zagadka. Odpowiedź mieści się w jednym zdaniu: kąty w każdym narożniku muszą sumować się do 360°.
Dlaczego działają tylko trzy foremne kafle
Stań w dowolnym punkcie, w którym stykają się kafle. Narożniki zebrane wokół tego punktu muszą zamknąć pełny obrót, ani mniej, ani więcej. Dla wielokąta foremnego każdy narożnik jest taki sam, więc pytanie staje się prostym rachunkiem: czy 360 dzieli się równo przez kąt wewnętrzny?
Trójkąt równoboczny ma narożniki 60°, więc spotyka się ich sześć. Kwadrat ma 90°, więc spotyka się cztery. Foremny sześciokąt ma 120°, więc spotyka się trzy. Foremny pięciokąt, 108°, zostawia uparty luz 36° przy trzech kaflach i nachodzi przy czterech. Siedmiokąty i kolejne mają narożniki większe niż 120°, więc nawet trzy z nich przekraczają pełny obrót. Zostają więc dokładnie trzy foremne mozaiki, dlatego podłogi w łazienkach i plastry miodu wyglądają tak znajomo.
Jeśli dopuścić dwa lub więcej foremnych wielokątów i wymagać, aby każdy wierzchołek wyglądał tak samo, otrzymasz osiem kolejnych: pokrycia półforemne, czyli archimedesowe. Johannes Kepler opisał je w Harmonices Mundi w 1619 roku, łącząc ośmiokąty z kwadratami, sześciokąty z trójkątami i dwunastokąty z obydwoma.
- Zsumuj kąty spotykające się w wierzchołku.
- Musi wynosić dokładnie 360°.
- Sprawdź, czy krawędzie się zgadzają, a nie tylko narożniki.
Ścięta mozaika kwadratowa: w każdym wierzchołku dwa ośmiokąty i jeden kwadrat. 135° + 135° + 90° = 360°.
Pięciokąty: kształt, który zaskakiwał ekspertów
Foremny pięciokąt zawodzi, ale gdy zmienisz jego boki i kąty, historia się zmienia. Niektóre nieforemne wypukłe pięciokąty układają się idealnie, a znalezienie wszystkich z nich stało się stuletnim poszukiwaniem.
Niemiecki matematyk Karl Reinhardt opisał pięć rodzin w 1918 roku. Dziesiątki lat później, po przeczytaniu felietonu Martina Gardnera w Scientific American, Marjorie Rice, gospodyni domowa z San Diego bez formalnego wykształcenia matematycznego, wymyśliła własny system zapisu i w latach 70. odkryła cztery nowe typy. W 2015 roku Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann i David Von Derau z University of Washington Bothell znaleźli piętnasty typ za pomocą przeszukiwania komputerowego. W 2017 roku Michaël Rao opublikował wspomagany komputerowo dowód, że lista piętnastu typów jest kompletna.
Wniosek dla twórców: reguła 360° nadal obowiązuje, ale nieregularne kształty mogą łączyć się w mieszanych grupach, raz dwa kąty, raz trzy, o ile każdy wierzchołek się domyka.
Nieregularny wypukły pięciokąt w układzie posadzki. W niektórych wierzchołkach stykają się trzy kafelki, w innych cztery, lecz każdy wierzchołek domyka się do 360°.
Od stworzeń Eschera do kafelków, które nigdy się nie powtarzają
M.C. Escher studiował mozaiki Alhambry w Granadzie podczas wizyt w 1922 i 1936 roku, a potem przez dziesiątki lat przekształcał wielokąty w ptaki, ryby i jaszczurki. Jego podstawowy zabieg jest łatwy do opanowania: to, co wycinasz z jednej krawędzi, dodajesz do krawędzi przeciwległej, dzięki czemu kafelek nadal pasuje do sąsiadów. Jego prac tutaj nie reprodukujemy, jedynie je opisujemy, ponieważ wciąż podlegają prawu autorskiemu.
Głębsze zaskoczenie przyniosły kafelki, które pokrywają płaszczyznę, ale nigdy się nie powtarzają. W 1974 roku Roger Penrose znalazł parę kształtów, latawiec i strzałkę, które układają się wyłącznie aperiodycznie. W 1982 roku Dan Shechtman zaobserwował podobny „zakazany” porządek w prawdziwym stopie metali, za co w 2011 roku otrzymał Nagrodę Nobla z chemii.
Przez dziesiątki lat pojedynczy kafelek o tej własności wydawał się poza zasięgiem. Potem w 2023 roku David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan i Chaim Goodman-Strauss ogłosili „hat” – trzynastobocznny kształt, który pokrywa płaszczyznę wyłącznie aperiodycznie – a następnie „spectre”, który robi to bez potrzeby używania odbić lustrzanych.
Kafelki „hat” w niepowtarzalnym fragmencie posadzki. Bursztynowe kafelki to lustrzane kopie, których potrzebuje „hat”, a „spectre” już nie.
Notatki konstrukcyjne
Stwórz kafelek do przekształceń w stylu Eschera
- Weź papierowy kwadrat.
- Wytnij dowolną krzywą z lewej krawędzi i przyklej ją do prawej krawędzi, bez obracania.
- Zrób to samo od dolnej krawędzi do górnej.
- Obrysuj nowy kształt wielokrotnie, przesuwając go w rzędach. Następnie zdecyduj, jakie stworzenie przypomina.
Dlaczego układ kafelków „hat” nie może być okresowy, w skrócie
Kafelki „hat” muszą grupować się w większe skupiska, które zachowują się jak większe kafelki, a te znów grupują się w większe, bez końca. Wzór okresowy wymagałby jednego skończonego bloku, który się powtarza; ta nieskończona hierarchia to wyklucza.
Szybki test dla dowolnego wielokąta
Każdy trójkąt i każdy czworokąt, nawet nieregularny i wklęsły, może pokryć płaszczyznę. Obróć kopie o 180° względem środków krawędzi, a ich kąty zawsze domkną pełny obrót.