Odkryj regułę ukrytą w powtórzeniu
Sztywny powtarzający się wzór powinien sprawiać wrażenie spokoju. Zamiast tego tworzy gwiazdy, których nikt nie narysował, fale na płaskiej ścianie i siatki, które zdają się oddychać. Zasada: cztery ruchy symetrii połączone na ściśle ograniczoną liczbę sposobów.
Cztery ruchy, siedemnaście grup
Każdy płaski wzór powtarzalny składa się z motywu i zestawu ruchów, które przenoszą go na własne kopie: translacja (przesunięcie), obrót (skręt), odbicie lustrzane (lustro) i odbicie z przesunięciem (lustro i przesunięcie razem). Obroty we wzorze powtarzalnym ograniczają się do obrotów o 1/2, 1/3, 1/4 i 1/6 pełnego kąta; obrót pięciokrotny nie może się powtarzać na płaszczyźnie.
Połącz te ruchy na każdy sposób, w jaki mogą współistnieć, a otrzymasz dokładnie siedemnaście różnych typów wzorów, czyli grup tapet. Rosyjski krystalograf Jewgraf Fiodorow udowodnił to w 1891 roku, a George Pólya zwrócił na to szerszą uwagę w 1924 roku. Escher uważnie studiował pracę Pólyi.
Alhambra w Granadzie jest często wymieniana jako miejsce, w którym znajdują się przykłady wielu, a być może wszystkich siedemnastu grup. Badacze wciąż spierają się o dokładną liczbę, co dobrze przypomina, by samodzielnie sprawdzać symetrię wzoru, zamiast ufać etykiecie.
- Znajdź najmniejszą płytkę, która powtarza się wyłącznie przez przesunięcie.
- Szukaj środków obrotu i policz krotność obrotu.
- Szukaj osi lustrzanych, a potem odbić z przesunięciem.
Sześć identycznych klocków, każdy obrócony o 60° względem poprzedniego. Po usunięciu koloru widoczne staną się także osie lustrzane przechodzące przez każdy płatek.
Girih: gwiazdy z ukrytego zestawu płytek
Średniowieczna architektura islamska słynie z przeplatających się wzorów gwiazd i wielokątów, zwanych girih. Przez długi czas historycy zakładali, że rzemieślnicy rysowali je bezpośrednio cyrklem i linijką. W 2007 roku fizycy Peter Lu i Paul Steinhardt argumentowali na łamach czasopisma Science, że wiele z nich zbudowano z małego zestawu zdobionych płytek: dziesięciokąta, pięciokąta, kokardy, rombu i wydłużonego sześciokąta.
Linie namalowane na każdej płytce łączą się na krawędziach, więc widoczny wzór ukrywa płytki, które go tworzą. W mauzoleum Darb-i Imam w Isfahanie, ukończonym w 1453 roku, wykryto wzory zbliżone do porządku quasikrystalicznego w stylu Penrose'a, na wieki przed tym, zanim opisali go matematycy.
To wzorcowa wersja iluzji: oczywiste kształty to gwiazdy, a struktura to zestaw cichszych wielokątów, których nigdy nie widzisz.
Pięć kształtów girih. Bursztynowe linie przecinają każdą krawędź w jej środku, więc każde dozwolone ułożenie tworzy ciągły splot.
Gdy spokój zaczyna się poruszać: Op Art
W latach sześćdziesiątych Op Art posunął powtarzalność tak daleko, że oko nie mogło już utrzymać wzoru w spokoju. Victor Vasarely rozszerzał i ściskał siatki, tak że płaskie płótna wydawały się wypukłe. Czarno-białe prace Bridget Riley, takie jak Movement in Squares (1961), zwężały rząd kwadratów, aż powierzchnia zdawała się załamywać. Museum of Modern Art w Nowym Jorku zebrało ten ruch na wystawie The Responsive Eye w 1965 roku.
Zasada to stopniowa zmiana wewnątrz powtórzenia. Zachowaj stały motyw, ale zmieniaj jego rozmiar, odstęp lub kąt krok po kroku, a twój układ wzrokowy odczyta gradient jako głębię lub ruch. The Grammar of Ornament Owena Jonesa (1856) katalogowało historyczne powtórzenia; Op Art pytał, co się stanie, gdy gramatykę się rozciągnie.
Te idee pokazujemy w delikatnych, niskokontrastowych renderach reliefu zamiast w reprodukcjach wysokokontrastowych prac w paski, które mogą być dla niektórych odbiorców nieprzyjemne.
Jeden kwadrat, zmniejszany równymi krokami. Powierzchnia jest płaska; wypukłość wynika z gradientu.
Notatki konstrukcyjne
Narysuj cyrklem rozetę sześciokrotną
- Narysuj okrąg.
- Zachowaj tę samą rozwartość cyrkla i przenoś ją wzdłuż krawędzi, zaznaczając sześć punktów.
- Narysuj okrąg z każdego punktu.
- Nachodzące na siebie łuki tworzą rozetę sześciopłatkową; rozszerz siatkę, aby uzyskać wzór powtarzalny.
Rozpoznaj grupę tapet na podłodze z płytek
Zaznacz jeden motyw. Znajdź najmniejszy równoległobok, który powtarza się przez przesunięcie. Potem sprawdź: czy jest najwyższy obrót? Czy są lustra? Czy są odbicia z przesunięciem między lustrami? Te trzy odpowiedzi zawężają siedemnaście kandydatur do jednej.
Stwórz spokojny wzór gradientowy
Wybierz motyw koła w siatce kwadratowej. Zmniejsz każdy rząd o 8% w stronę linii środkowej, a potem powiększ go poza nią. Utrzymuj umiarkowany kontrast, aby uniknąć migotania.