Entdecken Sie die Regel hinter der Wiederholung
Ein starres Muster sollte ruhig wirken. Stattdessen entstehen Sterne, die niemand gezeichnet hat, Wellen über einer flachen Wand und Raster, die zu atmen scheinen. Die Regel: vier Symmetriebewegungen, kombiniert auf streng begrenzte Weise.
Vier Bewegungen, siebzehn Gruppen
Jedes flache Wiederholungsmuster besteht aus einem Motiv und einer Reihe von Bewegungen, die es auf Kopien seiner selbst abbilden: Translation (Verschiebung), Rotation (Drehung), Spiegelung (Reflexion) und Gleitspiegelung (Spiegelung und Verschiebung zusammen). Drehungen in einem Wiederholungsmuster sind auf halbe, drittel, viertel und sechstel Umdrehungen beschränkt; eine fünffache Drehung lässt sich in einer flachen Ebene nicht wiederholen.
Kombiniert man diese Bewegungen, soweit sie gemeinsam bestehen können, erhält man genau siebzehn verschiedene Mustertypen, die Ornamentgruppen (Wallpaper-Gruppen). Der russische Kristallograf Jewgraf Fjodorow bewies dies 1891, und George Pólya machte es 1924 einem breiteren Publikum bekannt. Escher studierte Pólyas Arbeit genau.
Die Alhambra in Granada gilt oft als Beispiel für viele, vielleicht alle siebzehn Gruppen. Fachleute streiten noch über die genaue Anzahl. Das erinnert daran, die Symmetrie eines Musters selbst zu prüfen, statt einer Bezeichnung zu vertrauen.
- Finde die kleinste Kachel, die sich allein durch Verschieben wiederholt.
- Suche nach Drehzentren und zähle die Drehung.
- Suche nach Spiegelachsen und danach nach Gleitspiegelungen.
Sechs identische Blöcke, jeder um 60° gegenüber dem vorherigen gedreht. Entfernt man die Farbe, werden auch die Spiegelachsen durch jedes Blütenblatt sichtbar.
Girih: Sterne aus einem verborgenen Kachelsatz
Mittelalterliche islamische Architektur ist berühmt für ineinander verschlungene Stern- und Polygonmuster, die Girih genannt werden. Lange nahm man an, dass Handwerker sie direkt mit Zirkel und Lineal zeichneten. 2007 vertraten die Physiker Peter Lu und Paul Steinhardt in der Zeitschrift Science die These, dass viele aus einem kleinen Satz verzierter Kacheln aufgebaut wurden: einem Zehneck, Fünfeck, Fliege, Rhombus und einem gestreckten Sechseck.
Die auf jede Kachel gemalten Linien setzen sich über die Kanten hinweg fort, sodass das sichtbare Muster die Kacheln verbirgt, die es erzeugen. Am Darb-i-Imam-Schrein in Isfahan, 1453 vollendet, erkannten sie Muster, die der penroseartigen quasikristallinen Ordnung nahekommen, Jahrhunderte bevor Mathematiker sie beschrieben.
Dies ist die Mustervariante einer Illusion: Die offensichtlichen Formen sind die Sterne, während die Struktur aus ruhigeren Polygonen besteht, die du nie siehst.
Die fünf Girih-Formen. Bernsteinfarbene Linien kreuzen jede Kante in ihrer Mitte, sodass jede zulässige Anordnung ein durchgehendes Flechtwerk ergibt.
Wenn Ruhe in Bewegung gerät: Op Art
In den 1960er-Jahren trieb die Op Art die Wiederholung so weit, dass das Auge das Muster nicht mehr ruhig halten konnte. Victor Vasarely blähte Raster auf und staute sie zusammen, sodass flache Leinwände sich zu wölben schienen. Bridget Rileys schwarz-weiße Werke, wie Movement in Squares (1961), verengten eine Reihe von Quadraten, bis die Fläche sich zu falten schien. Das Museum of Modern Art in New York fasste die Bewegung in seiner Ausstellung The Responsive Eye von 1965 zusammen.
Die Regel hier ist allmählicher Wandel innerhalb einer Wiederholung. Behalte das Motiv bei, verändere aber Größe, Abstand oder Winkel Schritt für Schritt, und dein visuelles System deutet den Verlauf als Tiefe oder Bewegung. Owen Jones’ The Grammar of Ornament (1856) katalogisierte historische Wiederholungen; die Op Art fragte, was geschieht, wenn man diese Grammatik dehnt.
Wir zeigen diese Ideen mit sanften, kontrastarmen Relief-Darstellungen, statt kontrastreiche gestreifte Kunstwerke zu reproduzieren, die manche Betrachter als unangenehm empfinden können.
Ein Quadrat, in gleichmäßigen Schritten verkleinert. Die Fläche ist eben; die Wölbung entsteht durch den Verlauf.
Konstruktionshinweise
Zeichne eine sechsfache Rosette mit dem Zirkel
- Zeichne einen Kreis.
- Behalte dieselbe Zirkelöffnung bei und trage sie entlang des Randes ab, sodass du sechs Punkte markierst.
- Zeichne von jedem Punkt aus einen Kreis.
- Die sich überschneidenden Bögen bilden eine sechsblättrige Rosette. Erweitere das Raster, um ein sich wiederholendes Muster zu erhalten.
Bestimme eine Ornamentgruppe in einem gefliesten Boden
Markiere ein Motiv. Finde das kleinste Parallelogramm, das sich durch Verschieben wiederholt. Prüfe dann: Höchste Drehung? Spiegelachsen vorhanden? Gleitspiegelungen zwischen den Spiegelachsen? Diese drei Antworten reduzieren die siebzehn Kandidaten auf einen.
Gestalte ein ruhiges Verlaufsmuster
Wähle ein Kreismotiv in einem quadratischen Raster. Verkleinere jede Reihe um 8 % zur Mittellinie hin und vergrößere sie dahinter wieder. Halte den Kontrast moderat, um Flimmern zu vermeiden.