Oppdag regelen i gjentakelsen
Et stivt mønster skal virke rolig. I stedet lager det stjerner ingen har tegnet, bølger over en flat vegg og rutenett som ser ut til å puste. Regelen: fire symmetrioperasjoner, kombinert på et strengt begrenset antall måter.
Fire grep, sytten grupper
Hvert flate, repeterende mønster er bygget opp av et motiv og et sett med bevegelser som flytter det over på kopier av seg selv: translasjon (forskyvning), rotasjon (dreining), refleksjon (speiling) og glidespeiling (speiling og forskyvning samtidig). Rotasjoner i et repeterende mønster er begrenset til halv-, tredjedels-, kvart- og sjettedelsomdreininger; en femfoldig dreining kan ikke gjentas over et flatt plan.
Kombinerer du disse bevegelsene på alle måter de kan forekomme sammen, får du nøyaktig sytten ulike mønstertyper, tapetgruppene. Den russiske krystallografen Evgraf Fedorov beviste dette i 1891, og George Pólya gjorde det kjent for et bredere publikum i 1924. Escher studerte Pólyas artikkel nøye.
Alhambra i Granada nevnes ofte som et sted med eksempler på mange, kanskje alle, av de sytten gruppene. Forskere diskuterer fortsatt det nøyaktige antallet, og det er en god påminnelse om å sjekke symmetrien i et mønster selv i stedet for å stole på en etikett.
- Finn den minste flisen som gjentas ved ren forskyvning.
- Se etter rotasjonssentre, og tell dreiningen.
- Se etter speillinjer, og deretter etter glidespeiling.
Seks identiske blokker, hver dreiet 60° fra den forrige. Fjerner du fargen, blir også speillinjene gjennom hvert kronblad synlige.
Girih: stjerner fra et skjult sett med fliser
Middelalderens islamske arkitektur er kjent for sammenflettede stjerne- og mangekantmønstre, kalt girih. I lang tid antok historikere at håndverkerne tegnet dem direkte med passer og linjal. I 2007 hevdet fysikerne Peter Lu og Paul Steinhardt i tidsskriftet Science at mange var bygget opp av et lite sett med dekorerte fliser: en tiekant, en femkant, en sløyfeform, en rombe og en langstrakt sekskant.
Linjene malt på hver flis går sammen over kantene, slik at det synlige mønsteret skjuler flisene som lager det. På Darb-i Imam-helligdommen i Isfahan, fullført i 1453, fant de mønstre som ligner Penrose-aktig kvasikrystallinsk orden, flere århundrer før matematikerne beskrev den.
Dette er mønsterversjonen av en illusjon: de åpenbare formene er stjernene, mens strukturen er et sett med stillere mangekanter som du aldri ser.
De fem girih-formene. Linjer i rav krysser hver kant midt på, så enhver lovlig plassering gir et sammenhengende flettet mønster.
Når stillheten begynner å bevege seg: Op Art
På 1960-tallet presset Op Art repetisjonen så langt at øyet ikke lenger kunne holde mønsteret stille. Victor Vasarely bulket ut og presset sammen rutenett, slik at flate lerret så ut til å buktne seg. Bridget Rileys svart-hvite verk, som Movement in Squares (1961), innsnevret en rekke kvadrater til flaten så ut til å brettes. Museum of Modern Art i New York samlet bevegelsen i utstillingen The Responsive Eye i 1965.
Regelen her er gradvis endring innenfor en repetisjon. Hold motivet konstant, men varier størrelse, avstand eller vinkel trinn for trinn, så leser synssystemet gradienten som dybde eller bevegelse. Owen Jones’ The Grammar of Ornament (1856) katalogiserte historiske repetisjoner; Op Art spurte hva som skjer når grammatikken strekkes.
Vi viser disse ideene med milde, lavkontrastrike reliefrender i stedet for å gjengi kontrastrike, stripete kunstverk, som kan være ubehagelige for noen seere.
Ett kvadrat, skalert ned i jevne trinn. Flaten er flat; svulmingen ligger i gradienten.
Konstruksjonsnotater
Tegn en rosett med seks fold med passer
- Tegn en sirkel.
- Behold samme passerbredde, gå rundt kanten og merk av seks punkter.
- Tegn en sirkel fra hvert punkt.
- De overlappende buene danner en rosett med seks kronblad. Utvid rutenettet for å lage et repeterende mønster.
Identifiser en tapetgruppe i et flislagt gulv
Merk ett motiv. Finn det minste parallellogrammet som gjentas ved ren forskyvning. Sjekk deretter: Høyeste rotasjon? Speil til stede? Glidespeiling mellom speilene? Disse tre svarene reduserer sytten kandidater til én.
Lag et rolig gradientmønster
Velg et sirkelmotiv i et kvadratisk rutenett. Krymp hver rad med 8 % mot midtlinjen, og forstørr den igjen utover. Hold kontrasten moderat for å unngå flimmer.