La én flis fylle planet
Et endeløst gulv laget av én begrenset form, uten hull, uten overlapp og i noen bemerkelsesverdige tilfeller uten gjentakelse i det hele tatt. Det høres ut som en gåte. Regelen som løser den, får plass på én linje: vinklene i hvert hjørne må summere seg til 360°.
Hvorfor bare tre regulære fliser fungerer
Stå på et hvilket som helst punkt der fliser møtes. Hjørnene som samles rundt punktet, må fullføre en hel omdreining, verken mer eller mindre. For en regulær mangekant er alle hjørnene like, så spørsmålet blir enkel aritmetikk: går 360 jevnt opp i den indre vinkelen?
En likesidet trekant har 60°-hjørner, så seks møtes. En firkant har 90°, så fire møtes. En regulær sekskant har 120°, så tre møtes. Den regulære femkanten, med 108°, etterlater et sta gap på 36° med tre fliser og overlapper med fire. Syvkanter og flere har hjørner større enn 120°, så selv tre av dem bommer på omdreiningen. Det gir nøyaktig tre regulære tessellasjoner, og derfor ser gulvfliser på bad og bikaker så kjent ut.
Tillater du to eller flere regulære mangekanter og krever at hvert hjørne ser likt ut, får du åtte til: de semiregulære, eller arkimedeiske, flislegginger. Johannes Kepler beskrev dem i Harmonices Mundi i 1619, og kombinerte åttekanter med firkanter, sekskanter med trekanter og tolvkanter med begge.
- Summer vinklene som møtes i et hjørne.
- Det må bli nøyaktig 360°.
- Sjekk at kantene passer sammen, ikke bare hjørnene.
Den avkortede firkantflisleggingen: to åttekanter og én firkant i hvert hjørne. 135° + 135° + 90° = 360°.
Femkanter: formen som stadig overrasket eksperter
Den regulære femkanten feiler, men bøyer du sidene og vinklene, endrer historien seg. Noen uregelmessige konvekse femkanter flislegger perfekt, og å finne dem alle ble en jakt på over hundre år.
Den tyske matematikeren Karl Reinhardt beskrev fem familier i 1918. Flere tiår senere, etter å ha lest Martin Gardners spalte i Scientific American, oppdaget Marjorie Rice, en hjemmeværende fra San Diego uten formell matematisk utdannelse, sin egen notasjon og fant fire nye typer på 1970-tallet. I 2015 fant Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann og David Von Derau ved University of Washington Bothell en femtende type ved hjelp av et datasøk. I 2017 publiserte Michaël Rao et datastøttet bevis for at listen med femten er komplett.
Lærdommen for skapere: 360°-regelen gjelder fortsatt, men uregelmessige former kan møtes i blandede grupper, to vinkler her og tre der, så lenge hvert hjørne lukkes.
En uregelmessig konveks femkant i en flislegging. Noen hjørner møtes i tre fliser, andre i fire, men alle hjørner lukkes ved 360°.
Fra Eschers skapninger til fliser som aldri gjentar seg
M.C. Escher studerte flisleggingen i Alhambra i Granada under besøk i 1922 og 1936, og brukte deretter tiår på å gjøre mangekanter til fugler, fisker og øgler. Hans kjernegrep er lett å lære: det du skjærer ut av én kant, legger du til på motsatt kant, slik at flisen fortsatt passer inntil naboene. Vi beskriver verkene hans her i stedet for å gjengi dem; de er fortsatt opphavsrettslig beskyttet.
En dypere overraskelse kom fra fliser som dekker planet, men aldri gjentar seg. I 1974 fant Roger Penrose to former, dragen og pilen, som bare flislegger ikke-periodisk. I 1982 observerte Dan Shechtman lignende «forbudt» orden i en ekte legering, en oppdagelse som ga ham Nobelprisen i kjemi 2011.
I flere tiår virket én enkelt flis med denne egenskapen utenfor rekkevidde. Så, i 2023, kunngjorde David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan og Chaim Goodman-Strauss «hatten», en tretten-sidet form som bare flislegger planet aperiodisk, etterfulgt av «spekteret», som gjør det uten å trenge speilbilder.
Hatt-fliser i en ikke-repeterende flate. Gulbrune fliser er speilvendte kopier, som hatten trenger og spekteret ikke gjør.
Konstruksjonsnotater
Lag en oversettelsesflis i Escher-stil
- Start med en papirkvadrat.
- Klipp en vilkårlig kurve fra venstre kant og tape den til høyre kant uten å rotere den.
- Gjør det samme fra bunnkanten til toppkanten.
- Tegn av den nye formen gjentatte ganger, og forskyv den i rader. Bestem deretter hvilken skapning den minner om.
Hvorfor en hatt-flislegging ikke kan være periodisk, kort fortalt
Hattfliser tvinges til å gruppere seg i større klynger som oppfører seg som større fliser, som grupperer seg igjen, uten ende. Et periodisk mønster ville kreve én endelig blokk som gjentas; denne endeløse hierarkien utelukker det.
Rask sjekk for enhver mangekant
Enhver trekant og enhver firkant, selv uregelmessige og ikke-konvekse, kan flislegge planet. Roter kopier 180° om kantenes midtpunkter, så lukker vinklene seg alltid til en full omdreining.