Lassen Sie eine Kachel die Ebene füllen
Ein endloser Boden aus einer einzigen endlichen Form, ohne Lücken, ohne Überlappungen und in einigen bemerkenswerten Fällen ohne jede Wiederholung. Das klingt nach einem Rätsel. Die Regel, die es löst, passt in einen Satz: Die Winkel an jeder Ecke müssen sich zu 360° addieren.
Warum nur drei regelmäßige Kacheln funktionieren
Stellen Sie sich an einen beliebigen Punkt, an dem Kacheln zusammentreffen. Die Ecken, die sich um diesen Punkt versammeln, müssen genau eine volle Drehung ergeben, nicht mehr und nicht weniger. Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Ecken gleich, daher wird die Frage zu einfacher Rechnung: Geht 360 ohne Rest durch den Innenwinkel?
Ein gleichseitiges Dreieck hat 60°-Ecken, also treffen sechs aufeinander. Ein Quadrat hat 90°, also vier. Ein regelmäßiges Sechseck hat 120°, also drei. Das regelmäßige Fünfeck mit 108° lässt bei drei Kacheln eine hartnäckige Lücke von 36° und überlappt bei vier. Siebenecke und größere haben Ecken über 120°, sodass selbst drei von ihnen die volle Drehung überschreiten. Somit gibt es genau drei regelmäßige Parkettierungen, weshalb Badezimmerböden und Bienenwaben so vertraut aussehen.
Lässt man zwei oder mehr regelmäßige Vielecke zu und verlangt, dass jede Ecke gleich aussieht, erhält man acht weitere: die halbregelmäßigen oder archimedischen Parkettierungen. Johannes Kepler stellte sie 1619 in Harmonices Mundi dar, indem er Achtecke mit Quadraten, Sechsecke mit Dreiecken und Zwölfecke mit beiden kombinierte.
- Addieren Sie die Winkel, die an einer Ecke zusammentreffen.
- Es muss genau 360° ergeben.
- Prüfen Sie, ob die Kanten zueinanderpassen, nicht nur die Ecken.
Die abgeschnittene Quadrat-Parkettierung: an jeder Ecke zwei Achtecke und ein Quadrat. 135° + 135° + 90° = 360°.
Fünfecke: die Form, die Experten immer wieder überraschte
Das regelmäßige Fünfeck scheitert, doch wenn man seine Seiten und Winkel verändert, ändert sich die Geschichte. Manche unregelmäßigen konvexen Fünfecke parkettieren perfekt, und alle davon zu finden wurde zu einer jahrhundertelangen Suche.
Der deutsche Mathematiker Karl Reinhardt beschrieb 1918 fünf Familien. Jahrzehnte später las die Hausfrau Marjorie Rice aus San Diego, die keine formale mathematische Ausbildung hatte, Martin Gardners Kolumne in Scientific American. Sie entwickelte eine eigene Notation und entdeckte in den 1970er-Jahren vier neue Typen. Im Jahr 2015 fanden Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann und David Von Derau an der University of Washington Bothell mithilfe einer Computersuche einen fünfzehnten Typ. Im Jahr 2017 veröffentlichte Michaël Rao einen computergestützten Beweis dafür, dass die Liste der fünfzehn vollständig ist.
Die Lehre für Gestalter: Die 360°-Regel gilt weiterhin, doch unregelmäßige Formen können sich in gemischten Gruppen treffen, hier zwei Winkel, dort drei, solange sich jede Ecke schließt.
Ein unregelmäßiges konvexes Fünfeck in einer Parkettierung. Manche Eckpunkte treffen drei Kacheln, andere vier, doch jeder Eckpunkt schließt sich bei 360°.
Von Eschers Wesen zu Kacheln, die sich nie wiederholen
M. C. Escher studierte die Kachelmuster der Alhambra in Granada bei Besuchen in den Jahren 1922 und 1936 und verwandelte danach jahrzehntelang Polygone in Vögel, Fische und Echsen. Sein Grundprinzip ist leicht zu erlernen: Was Sie an einer Kante herausschneiden, fügen Sie an der gegenüberliegenden Kante wieder an, sodass die Kachel weiterhin nahtlos an ihre Nachbarn passt. Wir beschreiben seine Werke hier, statt sie abzubilden; sie unterliegen weiterhin dem Urheberrecht.
Eine tiefere Überraschung boten Kacheln, die die Ebene lückenlos bedecken, sich aber nie wiederholen. 1974 fand Roger Penrose ein Paar von Formen, Drachen und Pfeil, die nur nichtperiodisch parkettieren. 1982 beobachtete Dan Shechtman eine ähnliche „verbotene“ Ordnung in einer echten Legierung, eine Entdeckung, für die er 2011 den Nobelpreis für Chemie erhielt.
Jahrzehntelang schien eine einzelne Kachel mit dieser Eigenschaft unerreichbar. Dann kündigten 2023 David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss den „Hut“ an, eine dreizehnseitige Form, die die Ebene nur aperiodisch überdeckt, gefolgt vom „Spectre“, das dies ohne Spiegelbilder schafft.
Hut-Kacheln in einem nicht wiederholenden Ausschnitt. Die bernsteinfarbenen Kacheln sind spiegelbildliche Kopien, die der Hut benötigt und das Spectre nicht.
Konstruktionshinweise
Eine Verschiebungskachel im Escher-Stil gestalten
- Beginnen Sie mit einem quadratischen Blatt Papier.
- Schneiden Sie eine beliebige Kurve von der linken Kante aus und kleben Sie sie ohne Drehung an die rechte Kante.
- Verfahren Sie ebenso von der unteren Kante zur oberen Kante.
- Zeichnen Sie die neue Form wiederholt nach und verschieben Sie sie reihenweise. Entscheiden Sie dann, welchem Wesen sie ähnelt.
Kurz erklärt: Warum eine Hut-Parkettierung nicht periodisch sein kann
Hut-Kacheln müssen sich zu größeren Gruppen zusammenschließen, die sich wie größere Kacheln verhalten und sich wiederum zusammenschließen, ohne Ende. Ein periodisches Muster bräuchte einen endlichen Block, der sich wiederholt; diese endlose Hierarchie schließt das aus.
Schnelltest für beliebige Polygone
Jedes Dreieck und jedes Viereck, auch unregelmäßige und nichtkonvexe, kann die Ebene parkettieren. Dreht man Kopien um 180° um die Kantenmitten, ergeben ihre Winkel stets eine volle Drehung.