Ας καλύψει ένα πλακίδιο το επίπεδο
Ένα ατέρμονο δάπεδο φτιαγμένο από ένα πεπερασμένο σχήμα, χωρίς κενά, χωρίς επικαλύψεις και, σε λίγες αξιοσημείωτες περιπτώσεις, χωρίς καμία επανάληψη. Ακούγεται σαν γρίφος. Ο κανόνας που τον λύνει χωράει σε μία γραμμή: οι γωνίες σε κάθε κορυφή πρέπει να αθροίζουν 360°.
Γιατί δουλεύουν μόνο τρία κανονικά πλακίδια
Σταθείτε σε οποιοδήποτε σημείο όπου συναντιούνται πλακίδια. Οι γωνίες που συγκεντρώνονται γύρω από αυτό το σημείο πρέπει να κλείνουν μία πλήρη στροφή, ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο. Για ένα κανονικό πολύγωνο, κάθε γωνία είναι ίδια, οπότε το ερώτημα γίνεται απλή αριθμητική: διαιρείται το 360 ακριβώς με την εσωτερική γωνία;
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει γωνίες 60°, άρα συναντιούνται έξι. Ένα τετράγωνο έχει 90°, άρα συναντιούνται τέσσερα. Ένα κανονικό εξάγωνο έχει 120°, άρα συναντιούνται τρία. Το κανονικό πεντάγωνο, με 108°, αφήνει ένα πεισματάρικο κενό 36° με τρία πλακίδια και επικαλύπτει με τέσσερα. Τα επτάγωνα και τα μεγαλύτερα έχουν γωνίες μεγαλύτερες από 120°, οπότε ακόμα και τρία από αυτά ξεπερνούν την πλήρη στροφή. Έτσι υπάρχουν ακριβώς τρία κανονικά ψηφιδωτά, γι’ αυτό τα πατώματα των μπάνιων και οι κηρήθρες μοιάζουν τόσο οικεία.
Αν επιτρέψουμε δύο ή περισσότερα κανονικά πολύγωνα και απαιτήσουμε κάθε κορυφή να μοιάζει ίδια, προκύπτουν άλλα οκτώ: τα ημικανονικά, ή αρχιμήδεια, ψηφιδωτά. Ο Johannes Kepler τα παρουσίασε στο Harmonices Mundi το 1619, συνδυάζοντας οκτάγωνα με τετράγωνα, εξάγωνα με τρίγωνα και δωδεκάγωνα με τα δύο.
- Αθροίστε τις γωνίες που συναντιούνται σε μια κορυφή.
- Πρέπει να ισούται ακριβώς με 360°.
- Ελέγξτε ότι οι πλευρές ταιριάζουν, όχι μόνο οι γωνίες.
Το κομμένο τετραγωνικό ψηφιδωτό: δύο οκτάγωνα και ένα τετράγωνο σε κάθε κορυφή. 135° + 135° + 90° = 360°.
Πεντάγωνα: το σχήμα που συνεχώς εξέπληττε τους ειδικούς
Το κανονικό πεντάγωνο αποτυγχάνει, όμως αν λυγίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του, η ιστορία αλλάζει. Ορισμένα ανώμαλα κυρτά πεντάγωνα καλύπτουν τέλεια το επίπεδο, και η εύρεση όλων τους έγινε κυνήγι διάρκειας ενός αιώνα.
Ο Γερμανός μαθηματικός Karl Reinhardt περιέγραψε πέντε οικογένειες το 1918. Δεκαετίες αργότερα, αφού διάβασε τη στήλη του Martin Gardner στο Scientific American, η Marjorie Rice, νοικοκυρά από το Σαν Ντιέγκο χωρίς επίσημη μαθηματική εκπαίδευση, επινόησε το δικό της σύστημα σημειογραφίας και ανακάλυψε τέσσερις νέους τύπους τη δεκαετία του 1970. Το 2015 οι Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann και David Von Derau του Πανεπιστημίου της Ουάσιγκτον στο Bothell βρήκαν έναν δέκατο πέμπτο τύπο με αναζήτηση μέσω υπολογιστή. Το 2017 ο Michaël Rao δημοσίευσε μια απόδειξη με υπολογιστική υποστήριξη ότι ο κατάλογος των δεκαπέντε είναι πλήρης.
Το δίδαγμα για τους κατασκευαστές: ο κανόνας των 360° ισχύει ακόμα, όμως τα ανώμαλα σχήματα μπορούν να συναντιούνται σε μικτές ομάδες, δύο γωνίες εδώ και τρεις εκεί, αρκεί κάθε κορυφή να κλείνει.
Ένα ακανόνιστο κυρτό πεντάγωνο σε διάταξη επίστρωσης. Κάποιες κορυφές συγκεντρώνουν τρία πλακίδια, άλλες τέσσερα, αλλά κάθε κορυφή κλείνει σε 360°.
Από τα πλάσματα του Έσερ σε πλακίδια που δεν επαναλαμβάνονται ποτέ
Ο M.C. Έσερ μελέτησε τα μωσαϊκά του Αλάμπρα στη Γρανάδα κατά τις επισκέψεις του το 1922 και το 1936, και στη συνέχεια πέρασε δεκαετίες μετατρέποντας πολύγωνα σε πουλιά, ψάρια και σαύρες. Η βασική του τεχνική είναι εύκολη στην εκμάθηση: ό,τι αφαιρείς από μια πλευρά, το προσθέτεις στην αντίθετη πλευρά, ώστε το πλακίδιο να εξακολουθεί να ταιριάζει με τους γείτονές του. Εδώ περιγράφουμε τα έργα του αντί να τα αναπαράγουμε· παραμένουν προστατευμένα από πνευματικά δικαιώματα.
Μια βαθύτερη έκπληξη προήλθε από πλακίδια που καλύπτουν το επίπεδο αλλά δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Το 1974 ο Ρότζερ Πενρόουζ βρήκε ένα ζεύγος σχημάτων, το «χαρταετός» και το «βέλος», που στρώνουν μόνο μη περιοδικά. Το 1982 ο Νταν Σέχτμαν παρατήρησε παρόμοια «απαγορευμένη» τάξη σε πραγματικό κράμα, μια ανακάλυψη που του χάρισε το Βραβείο Νόμπελ Χημείας του 2011.
Για δεκαετίες, ένα μόνο πλακίδιο με αυτή την ιδιότητα φαινόταν ανέφικτο. Τότε, το 2023, οι Ντέιβιντ Σμιθ, Τζόζεφ Σάμουελ Μάιερς, Κρεγκ Σ. Κάπλαν και Χάιμ Γκούντμαν-Στράους ανακοίνωσαν το «καπέλο», ένα δεκατρίπλευρο σχήμα που στρώνει το επίπεδο μόνο μη περιοδικά, και ακολούθως το «φάντασμα», που το κάνει χωρίς να χρειάζεται αντίγραφα-καθρέφτες.
Πλακίδια καπέλου σε διάταξη χωρίς επανάληψη. Τα κεχριμπαρένια πλακίδια είναι αντίγραφα-καθρέφτες, που χρειάζεται το καπέλο αλλά όχι το φάντασμα.
Σημειώσεις κατασκευής
Φτιάξτε ένα πλακίδιο μεταφοράς στο ύφος του Έσερ
- Ξεκινήστε με ένα τετράγωνο χαρτί.
- Κόψτε οποιαδήποτε καμπύλη από την αριστερή πλευρά και κολλήστε την στη δεξιά πλευρά χωρίς να την περιστρέψετε.
- Κάντε το ίδιο από την κάτω πλευρά προς την πάνω πλευρά.
- Σχεδιάστε επανειλημμένα το νέο σχήμα, μετατοπίζοντάς το σε σειρές. Έπειτα αποφασίστε ποιο πλάσμα μοιάζει.
Γιατί η επίστρωση με καπέλα δεν μπορεί να είναι περιοδική, εν συντομία
Τα πλακίδια καπέλου αναγκάζονται να ομαδοποιούνται σε μεγαλύτερα σύνολα που συμπεριφέρονται σαν μεγαλύτερα πλακίδια, και αυτά ομαδοποιούνται ξανά, χωρίς τέλος. Ένα περιοδικό μοτίβο θα χρειαζόταν ένα πεπερασμένο μπλοκ που επαναλαμβάνεται· αυτή η ατελείωτη ιεραρχία το αποκλείει.
Γρήγορος έλεγχος για οποιοδήποτε πολύγωνο
Κάθε τρίγωνο και κάθε τετράπλευρο, ακόμη και ακανόνιστα και μη κυρτά, μπορούν να στρώσουν το επίπεδο. Περιστρέψτε αντίγραφα κατά 180° γύρω από τα μέσα των πλευρών και οι γωνίες τους θα συμπληρώνουν πάντα μια πλήρη περιστροφή.