Hagyjuk, hogy egyetlen csempe kitöltse a síkot
Végtelen padló egyetlen véges alakzatból: rések nélkül, átfedések nélkül, és néhány figyelemre méltó esetben egyáltalán nem ismétlődve. Rejtvénynek hangzik. A megoldást egyetlen mondatban lehet megfogalmazni: minden sarokban az ott találkozó szögeknek 360°-ot kell kitenniük.
Miért csak három szabályos csempe működik
Álljon meg bármely olyan pontnál, ahol csempék találkoznak. Az ott összegyűlő sarkoknak pontosan egy teljes fordulatot kell kitölteniük, sem többet, sem kevesebbet. Szabályos sokszög esetén minden sarok egyforma, így a kérdés egyszerű számtan lesz: osztható-e 360 a belső szöggel?
Az egyenlő oldalú háromszög sarka 60°, ezért hat találkozik. A négyzeté 90°, ezért négy. A szabályos hatszögé 120°, ezért három. A szabályos ötszög 108°-os szöge három csempével 36°-os makacs rést hagy, négyel pedig átfedést okoz. A hétszögek és a nagyobbak sarka 120°-nál nagyobb, így még három sem fér el a fordulatban. Ezért pontosan három szabályos parkettázás létezik, és ezért ismerősek ennyire a fürdőszobai padlók és a méhsejtek.
Ha két vagy több szabályos sokszöget engedünk meg, és ragaszkodunk ahhoz, hogy minden csúcs ugyanúgy nézzen ki, további nyolc lefedést kapunk: a féligszabályos, azaz arkhimédészi parkettázásokat. Johannes Kepler az 1619-ben megjelent Harmonices Mundi című művében írta le őket: nyolcszögeket négyzetekkel, hatszögeket háromszögekkel, tizenkétszögeket pedig mindkettővel kombinálva.
- Adja össze a csúcsnál találkozó szögeket.
- Pontosan 360°-ot kell kitenniük.
- Ellenőrizze, hogy az élek illeszkednek-e, nem csak a sarkok.
A csonkolt négyzetes parkettázás: minden csúcsnál két nyolcszög és egy négyzet. 135° + 135° + 90° = 360°.
Ötszögek: az alakzat, amely meglepte a szakértőket
A szabályos ötszög megbukik, de ha megváltoztatjuk oldalait és szögeit, a történet megfordul. Néhány szabálytalan, domború ötszög tökéletesen parkettáz, és mindegyik megtalálása egy évszázados vadászattá vált.
Karl Reinhardt német matematikus 1918-ban öt családot írt le. Évtizedekkel később, miután elolvasta Martin Gardner rovatát a Scientific Americanben, Marjorie Rice, egy San Diego-i háziasszony, formális matematikai képzettség nélkül, saját jelölésrendszert alkotott, és az 1970-es években négy új típust fedezett fel. 2015-ben Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann és David Von Derau a washingtoni egyetem Bothell-i kampuszán számítógépes kereséssel egy tizenötödik típust talált. 2017-ben Michaël Rao számítógéppel segített bizonyítást publikált arról, hogy a tizenöt típusból álló lista teljes.
A készítőknek szóló tanulság: a 360°-os szabály továbbra is érvényes, de a szabálytalan alakzatok vegyes csoportokban is találkozhatnak – itt két szöggel, ott három szöggel –, feltéve hogy minden csúcs bezáródik.
Egy szabálytalan konvex ötszög csempézési elrendezésben. Néhány csúcsnál három csempe találkozik, másoknál négy, mégis minden csúcs 360°-ban záródik.
Escher lényeitől a sosem ismétlődő csempékig
M. C. Escher 1922-ben és 1936-ban tett granadai látogatásai során tanulmányozta az Alhambra csempézését, majd évtizedeken át sokszögekből madarakat, halakat és gyíkokat alkotott. Alapvető fogása könnyen megtanulható: amit az egyik élből kivág, azt a szemközti élhez illeszti, így a csempe továbbra is illeszkedik a szomszédjaihoz. Műveit itt nem reprodukáljuk, mert szerzői jogi védelem alatt állnak.
Mélyebb meglepetést okoztak azok a csempék, amelyek lefedik a síkot, mégsem ismétlődnek. 1974-ben Roger Penrose talált egy alakpárt, a sárkányt és a nyilat, amelyek csak nem periodikusan csempéznek. 1982-ben Dan Shechtman valódi ötvözetben figyelt meg hasonló „tiltott” rendet, a felfedezésért pedig 2011-ben kémiai Nobel-díjat kapott.
Évtizedekig úgy tűnt, hogy egyetlen ilyen tulajdonságú csempe elérhetetlen. Aztán 2023-ban David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan és Chaim Goodman-Strauss bejelentette a „kalap” nevű, tizenhárom oldalú alakzatot, amely csak aperiodikusan fedi le a síkot, majd a „spectre” nevű alakzatot, amely ehhez már nem igényel tükörképeket.
Kalapcsempék egy nem ismétlődő felületrészleten. A borostyánszínű csempék tükörképek, amelyekre a kalapnak szüksége van, a spectre-nek viszont nincs.
Szerkesztési jegyzetek
Escher-stílusú eltolható csempe készítése
- Kiindulás: egy papírnégyzet.
- Egy tetszőleges görbét vágjon ki a bal élből, és ragassza a jobb élre elforgatás nélkül.
- Ugyanez az alsó élről a felső élre.
- Az új alakot sorokban, eltolva, többször körberajzolva rakja ki. Ezután döntse el, melyik lényre hasonlít.
Röviden: miért nem lehet periodikus a kalapcsempézés
A kalapcsempék nagyobb csoportokba kényszerülnek, amelyek nagyobb csempékként viselkednek, és ezek is újra csoportosulnak, végtelenül. Egy periodikus mintához egy véges blokkra lenne szükség, amely ismétlődik; ezt a végtelen hierarchia zárja ki.
Gyors ellenőrzés bármely sokszögre
Bármely háromszög és bármely négyszög, akár szabálytalan és nem konvex is, le tudja fedni a síkot. Ha az élek felezőpontjai körül 180°-kal elforgatott másolatokat helyezünk el, szögeik mindig teljes fordulatot adnak ki.